2014年5月6日 星期二

傅立葉轉換 & 高斯濾波器

傅立葉轉換其實就是一種泰勒級數，而JPEG的影像壓縮就是利用傅立葉轉換，取其中的a0~an2的部分

一般在作影像處理的影像大多不是連續信號，而對於平面上的不連續信號，我們則需使用二維離散傅立葉變換。
假設輸入的影像s[n,m]水平方向長度是N，垂直方向長度是M
二維離散傅立葉變換定義為
S(j\omega_1,j\omega_2) = \sum_{m=-\infty}^{\infty}\sum_{n=-\infty}^{\infty}s[n,m]e^{-j(\omega_1n+\omega_2m)}
二維離散傅立葉逆變換定義為
s[n,m] = \frac{1}{4\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}S(j\omega_1,j\omega_2)e^{j(\omega_1n+\omega_2m)}\,d\omega_1\,d\omega_2
同樣為了方便，我們可將上述兩式改為向量形式
S(j\overrightarrow{\omega}) = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}s(\overrightarrow{n})e^{j\overrightarrow{\omega}^t\overrightarrow{n}}\,d\overrightarrow{n},\ \  s(\overrightarrow{n}) =\frac{1}{4\pi^{2}} \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}S(j\overrightarrow{\omega})e^{j\overrightarrow{\omega}^t\overrightarrow{n}}\,d\overrightarrow{\omega}
其中,\overrightarrow{n} = (n,m)^t 。

原圖：

轉換後：



而高斯平滑濾波器，應該就是常說的高斯模糊
它用常態分佈計算影像中每個像素的變換。N維空間常態分佈方程為
G(r) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2}^N} e^{-r^2/(2 \sigma^2)}
在二維空間定義為
G(u,v) = \frac{1}{2\pi \sigma^2} e^{-(u^2 + v^2)/(2 \sigma^2)}

3X5：
5X5：
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